INFONKO.RU

НАПРЯЖЕНИЯ В НАКЛОННОЙ ПЛОЩАДКЕ

Докажем, что если заданы напряжения в трех взаимно пер­пендикулярных площадках, проходящих через данную точку, то ее напряженное состояние вполне определено. Проведем пло­скость наклонно к осям координат (рис. 3.2). В результате полу­чим фигуру тетраэдра Oabc, сливающегося с точкой О при бес­конечном убывании величины его граней. Пусть N — нормаль к наклонной грани тетраэдра. Положение ее определится направ­ляющими косинусами,

;

.

Пусть площадь наклонной грани будет , а площади осталь­ных граней, т. е. треугольников ОВС, ОАС и ОАВ, соответственно FX, Fy и FZ. Считаем, что на наклонную грань действует какое-то напряжение S (полное). Напряжения по координатным площадкам также даны. Проекции напряжения S на направления осей координат, или, что то же, компоненты напряжения S по осям координат, обозначаем Sx, Sy и Sz.

Тетраэдр должен находиться в равновесии. Пишем условия равновесия, проецируя все действующие по его граням силы на оси координат:

;

Рис. 3.2. Напряжения на наклонной площадке

Ho

FX = Fax;

Fy = Fay;

FZ = Faz.

Поэтому

(3.3)

Суммируя компоненты напряжения S по правилу параллелепипеда, легко получить и само полное напряжение S:

(3.4)

Нормальное напряжение в наклонной площадке опреде­лится как сумма проекций компонент Sx, Sy, S2 на нормаль к площадке:

(3.5)

а подставляя значения из уравнения (3.3), получим

(3.5а)

Полное касательное напряжение в наклонной площадке т найдем по правилу параллелограмма:

(3.6)

По полученным формулам можно определить напряжение в любой наклонной площадке. Таким образом, если даны шесть напряжений, действующих в точке по трем взаимно перпенди­кулярным площадкам, то ее напряженное состояние вполне определено.

3.4. ГЛАВНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

Исследуем полученное выражение (3.5а) для . Отложим от начала координат по направлению нормали N (рис. 3.2) к ка­кой-нибудь наклонной площадке некоторый вектор , величина которого определяется выражением

,

т. е. примем

,

где А — некоторая произвольная постоянная, определяющая масштаб.

Координаты конца вектора запишутся

,

а следовательно,

Подставляя эти значения а в уравнение (3.5а) и сокращая на г, получим

. (3.7)

Из аналитической геометрии известно, что полученное урав­нение представляет собой поверхность второго порядка, отнесен­ную центру (отсутствуют х, у, z в первой степени).

С изменением положения наклонной площадки изменятся на­правление и координаты х,y,z конца вектора г, но конец его всегда будет лежать на поверхности, определяемой уравне­нием (3.7). Отсюда следует, что эта поверхность полностью определяется напряженным состоянием точки. Она носит название поверхности напряжений Коши.

При изменении положения координатных осей, т. е. при отне­сении указанной поверхности к другим координатным осям, сама поверхность останется неизменной, а изменятся лишь коэффи­циенты уравнения, т. е. величины напряжений в координатных площадках, поскольку эти площадки станут другими.



Из аналитической геометрии известно, что если поверхность второго порядка отнести не только к центру, но и к сопряженным диаметрам, т. е. к осям, то коэффициенты при произведениях координат обратятся в нуль. Так же можно поступить и с поверх­ностью, определяемой уравнением (3.7). А это значит, что через точку, находящуюся в напряженном состоянии, всегда можно провести такие три взаимно перпендикулярные плоскости, в кото­рых касательных напряжений не будет и останутся только три нормальных напряжения. Эти три напряжения называют глав­ными нормальными напряжениями, их направ­ления — главными и плоскости, на которых они действуют, — главными плоскостями. Таким образом, если оси координат выбраны параллельно главным направлениям (главные оси), то в соответствующих координатных плоскостях (главных) дей­ствуют только нормальные напряжения — главные.

Отсюда следует, что напряженное состояние точки вполне определяется, если даны направления трех главных осей и вели­чины трех главных нормальных напряжений, которые обозна­чим индексами 1, 2, 3 вместо индексов х, у, z: .

Такими же индексами 1, 2, 3 будем в дальнейшем отмечать и главные оси, а также направляющие косинусы площадок, наклонных к этим осям, и соответствующие углы .

Если напряженное состояние точки задано главными напря­жениями, то напряжения в наклонных площадках выразятся на основании формул (3.3), (3.4), (3.5) и (3.6) весьма просто. Ком­поненты по осям координат

; S2 = ; S3 = .(3.8)

Полное напряжение

(3.9)

Нормальное напряжение

(3.10)

Касательное напряжение

(3.11)



infonko.ru/formi-energoservisnih-kontraktov.html infonko.ru/formi-feodalnogo-gosudarstva.html infonko.ru/formi-finansirovaniya-investicionnoj-deyatelnosti.html infonko.ru/formi-finansovo-ekonomicheskogo-kontrolya.html infonko.ru/formi-fizicheskogo-vospitaniya-v-seme.html infonko.ru/formi-fksuvannya-krimnalnogo-provadzhennya.html infonko.ru/formi-fzichnogo-vihovannya-dtej-v-sm.html infonko.ru/formi-fzichnogo-vihovannya-v-dityachomu-ozdorovchomu-tabor.html infonko.ru/formi-gosudarstva-ponyatie-i-osnovnie-elementi.html infonko.ru/formi-gosudarstvennogo-i-municipalnogo-kredita-i-klassifikaciya-gosudarstvennih-zajmov.html infonko.ru/formi-gosudarstvennogo-pravleniya.html infonko.ru/formi-gosudarstvennogo-programmirovaniya.html infonko.ru/formi-gosudarstvennogo-regulirovaniya-rinka-truda.html infonko.ru/formi-gosudarstvennogo-upravleniya-ponyatie-vidi-form.html infonko.ru/formi-gosudarstvennogo-ustrojstva.html infonko.ru/formi-gosudarstvennogo-ustrojstva-ponyatie-i-vidi.html infonko.ru/formi-gosudarstvennogo-ustrojstva-v-sovremennom-mire.html infonko.ru/formi-have-got-v-present-indefinite.html infonko.ru/formi-hudozhestvennoj-uslovnosti.html infonko.ru/formi-i-funkcii-grandioznogo-yapri-patologicheskom-narcissizme.html