INFONKO.RU

Модели управления запасами в экономике

Хотя вопросы, связанные с хранением запасов, имеют давнюю ис­торию, только в начале нынешнего столетия были сделаны первые попытки использовать аналитические методы для их изучения. Пер­воначальным толчком к применению математических методов ана­лиза систем управления запасами послужило развитие промышлен­ности, технических и экономических наук, особенно науки об управ­лении производством. Реальную потребность в анализе впервые ощутили те отрасли промышленности, которым пришлось столкнуть­ся с вопросами календарного планирования производства и хране­ния запасов, когда продукция производится серийно (стоимость пе­реналадки достаточно высока) и поступает на заводской склад.

Впервые формулы, которые часто называют простыми формула­ми размера партии, были выведены Фордом Харрисом в 1915 г. С тех пор те же самые формулы были получены, по-видимому, самостоя­тельно многими исследователями. Подобные формулы часто назы­вают формулами Уилсона, так как они представляют собой один из результатов разработанной им схемы исследования детерминирован­ных моделей.

Лишь по окончании второй мировой войны, когда стали разви­ваться наука о методах управления и исследование операций, было обращено серьезное внимание на вероятностный характер процессов управления запасами. До этого системы управления запасами рас­сматривались как детерминированные, за исключением тех немногих случаев, когда были предприняты попытки каким-то образом учесть стохастический характер этих систем. Так, во время войны была со­здана статическая стохастическая модель, а вскоре после этого был разработан стохастический вариант простой модели размера партии. В последнее время экономисты и математики проявили интерес к управлению запасами и, в частности, к моделям динамики. Поиск оптимальных стратегий и является предметом теории оптимального управления запасами. Математическая формулировка задачи отыс­кания оптимальной стратегии существенно зависит от исследуемой ситуации. Однако общность принимаемых в расчет факторов позво­ляет говорить о единой модели управления запасами.

Основными элементами задачи оптимального управления запаса­ми являются:

1) система снабжения;

2) спрос на предметы снабжения;

3) возможности пополнения запасов;

4) функции затрат (в частном случае — цены);

5) ограничения;

6) принятая стратегия управления запасами.

Условимся, что здесь и далее под стратегией следует понимать выбранную снабженцем линию поведения, полностью определяю­щую его действия в рамках рассматриваемой модели.

Классификация моделей управления запасами

Подсистемой снабжения понимается совокупность складов, меж­ду которыми в ходе операции по снабжению осуществляются перевозки хранимого имущества. Функция затрат составляется и мини­мизируется для системы в целом, а не для каждого отдельного склада. Возможны два варианта построения систем снабжения: децентрали­зованный (однокаскадный) и эшелонированный (многокаскадный). В первом случае все склады непосредственно обслуживают потреби­телей, и недостача предметов снабжения на одном или нескольких складах может быть покрыта за счет избытка их запасов на других складах. Источник пополнения запасов для всех складов принимает­ся неисчерпаемым. Во втором случае каждая недостача покрывается за счет конечных запасов склада высшей ступени.



Системы снабжения классифицируются также по числу хранимых видов товаров (однокомпонентные и многокомпонентные) и по ста­бильности свойств хранимого имущества. Чаще всего предполагает­ся, что ни свойства, ни количество хранимого имущества не подвер­жены естественным изменениям. Однако могут быть случаи его есте­ственной порчи (продукты питания) или, наоборот, возрастания «полезности» предметов хранения со временем (вина, произведения искусства).

Все системы снабжения в зависимости от планируемого числа пе­риодов операции по управлению запасами можно разделить на ста­тические (один период, этап) и динамические (многоэтапные).

Спрос на предметы снабжения может быть:

• стационарным или нестационарным;

• детерминированным или стохастическим;

• непрерывно распределенным или дискретным;

• зависящим от спроса на другие виды товаров или независимым. Пополнение запасов всегда происходит с некоторой случайной за­держкой относительно момента выдачи требования. Однако роль и величина этой задержки зависят от конкретных условий, что позво­ляет в ряде случаев упростить задачу. Степень возможного упроще­ния определяется тем, какой из следующих вариантов реализуется:

• мгновенная поставка;

• задержка поставок на фиксированный срок;

• задержка поставок на случайный интервал времени (подчинен­ный известному закону распределения).

Функции затрат, как правило, являются критериями качества и учитывают следующие издержки:

• расходы на хранение;

• транспортные расходы и затраты, связанные с заказом каждой новой партии;

• затраты на штрафы.

Иногда в минимизируемую функцию включаются (с отрицатель­ным знаком) доходы, полученные от продажи остатков запаса в кон­це каждого периода.

В зависимости от особенностей исследуемой ситуации рассматри­ваются следующие варианты выбора отдельных составляющих фун­кции затрат.

Издержки хранения:

• пропорциональные среднему уровню запаса за период и продол­жительности существования положительного запаса;

• пропорциональные остатку (положительному) к концу периода;

• нелинейные функции среднего запаса и продолжительности су­ществования положительного запаса или функции положительного остатка к концу периода.

Стоимость поставки:

• пропорциональная объему поставки;

• постоянная (независимо от объема и числа номенклатур);

• пропорциональная числу номенклатур в заявке;

• пропорциональная необходимому приросту интенсивности про­изводства.

Штрафы:

• пропорциональные средней положительной недостаче за период и продолжительности существования недостачи;

• пропорциональные положительной недостаче к концу периода;

• постоянные (при ненулевой недостаче);

• нелинейные функции средней недостачи и продолжительности существования недостачи или недостачи к концу периода.

Ограничения в задачах управления запасами могут быть самого различного характера, например по таким показателям, как

• максимальный объем запасов;

• максимальный вес;

• максимальная стоимость;

• средняя стоимость;

• число поставок в заданном интервале времени;

• максимальный объем (вес, стоимость) поставки;

• доля требований, удовлетворяемых только после прибытия оче­редной поставки (детерминированный случай);

• вероятность недостачи (вероятностный случай). Стратегия управления запасами, т.е. структура правила определе­ния момента и объема заказа, в практических приложениях обычно считается известной, и задача сводится к определению одной или не­скольких констант (параметров стратегии). Примером подобной стратегии может быть следующая: если объем запасов г меньше кри­тического уровня Y*, то количество товаров, которое необходимо заказать, составляет Y* - г; если же объем запасов z больше или равен Y*, то ничего заказывать не надо.

Необходимо отметить, что область применения теории управления запасами отнюдь не ограничивается складскими операциями. В частности, под запасом можно подразумевать:

• наличие товара;

• рабочую силу, которую планируется использовать для выполнения определенного задания;

• размер капитала страховой, финансовой компании;

• емкость складских помещений;

• грузоподъемность транспортных средств;

• производственную мощность предприятия;

• численность персонала данной квалификации.

Таким образом, при соответствующем переосмыслении элементов модели методами теории управления запасами можно решать очень широкий круг задач оптимального планирования. Однако для удоб­ства изложения мы сохраним снабженческую терминологию.

В заключение необходимо отметить, что постановка практичес­ких задач управления запасами, как правило, приводит к многоно­менклатурным ситуациям, необходимости совместного рассмотрения группы складов, случайным задержкам во времени. Все эти факторы существенно усложняют расчет оптимальных стратегий.

Ситуация, однако, существенно упрощается при выполнении каж­дого из следующих условий:

а) поставка предметов снабжения производится от независимых поставщиков;

б) штрафы за недостачу либо суммируются по всем номенклату­рам, либо вообще отсутствуют;

в) на выбор параметров стратегии управления запасами не нало­жено общих для группы номенклатур ограничений или такие ограни­чения несущественны;

г) критерием качества организации снабжения для каждого скла­да служит сумма затрат на данном складе;

д) отношение среднего квадратического отклонения задержки по­ставок к ее среднему значению мало.

Выполнение условий а, б и в позволяет расчленить многономенк­латурную задачу на однономенклатурные, благодаря условию г по­является возможность независимого рассмотрения каждого склада, а выполнение условия д обеспечивает приближенное сведение случай­ной задержки поставок к фиксированной (в частности, к нулевой).

Последующие разделы главы будут посвящены методам матема­тического анализа моделей управления запасами, в которых хотя бы приближенно выполнены все перечисленные условия. Такие модели, несмотря на их предельную простоту, не являются беспочвенной аб­стракцией: зарубежный и отечественный опыт свидетельствует о мас­совом применении этих подходов.

Детерминированные модели управления запасами

Рассмотрим метод расчета параметров оптимальных стратегий при детерминированном стационарном спросе на изолированном складе при следующих предположениях:

1) продолжительность планового периода неограниченна;

2) интенсивности спроса и поставок постоянны и равны ц и X со­ответственно;

3) время и уровни запасов описываются непрерывными перемен­ными;

4) накладные расходы на запуск производства постоянны и равны g;

5) затраты на содержание запасов и издержки, вызванные дефици­том, пропорциональны среднему уровню запасов и среднему уровню дефицита соответственно; /; — стоимость хранения одного изделия в течение единицы времени; р — штрафные потери за нехватку одного изделия в течение единицы времени.

Динамика изменения уровня запаса при детерминированном спро­се показана на рисунке 6.1

Y*

0 T

t1 t2 t3 t4

-y*_

Рисунок 6.1

Полный цикл работы склада имеет продолжительность Т. Обозначим через предельный запас на складе. Считая расходы на хранение (и штрафы) пропорциональными среднему запасу (дефициту) и времени их существования, получаем следующее выражение для функции затрат за цикл:

Очевидно, что

Максимальный дефицит выражается через как

При и , получаем

.

С учётом линейности изменения уровня запаса функция затрат будет иметь следующий вид:

.

В развёрнутом виде

.

Откуда затраты в единицу времени

.

Найдём частные производные от L1 по и Т и приравняем их к нулю:

Совместное решение этих уравнений даёт для оптимальных и Т условия:

,

.

При этом достигается минимум затрат в единицу времени

.

Момент запуска производства определяется достижением наибольшего дефицита

Из полученных соотношений как частные случаи легко выводятся более известные формулы теории запасов.

Так, например, при высоком штрафе можно принять . При этом

,

(6.1.1)

а недостачи полностью исключаются ( ).

Другой частный случай соответствует высокой интенсивности восполнения запаса - условие, типичное для поставок с вышестоящего склада, когда весь объём затребованной партии отгружается разом. В этой модели

Наиболее широкое применение нашли формулы, выведенные при обоих рассмотренных допущениях (так называемые формулы Уилсона, полученные ещё в 20-х годах):

6.1.2

Пример 6.1

Нахождение оптимальных размеров заказываемой партии, интервала между заказами и общих среднесуточных издержек.

На склад цемент доставляют на барже. Накладные расходы на запуск производства цемента и доставку его на склад равны 1960 руб. Издержки хранения 1 т цемента в течение суток составляют 10 коп. Найти оптимальные: размер заказываемой партии цемента, интервал времени между заказами поставок, среднесуточные общие издержки, если поставки осуществляются без задержки — мгновенно, а дефицит не допускается.

Исходные данные задачи: m = 50 т/сут, g = 1960 руб., h = 0,1 руб./ / (т • сут), l/m = 0, h/p = 0, = 0.

Для решения задачи используем формулы Уилсона. Оптимальный размер заказываемой партии

.

Интервал между заказами

.

Общие среднесуточные издержки

Помимо рассмотренных выше показателей представляют интерес еще два — объем заказываемой партии q и точка заказа у при задержке 1 между заказом и началом поставки. Первый из них равен спросу m T за период, так что для общего случая

, 6.1.3

а при

.

В моделях с высоким штрафом точка заказа при задержке поставок определяется как .

Входящие в формулы данного параграфа экономические коэффи­циенты можно считать постоянными лишь в первом приближении — в некотором диапазоне объемов партий q. Так, цена заказа g и цена хранения h могут быть ступенчатыми возрастающими функциями q (при увеличении q, вероятно, потребуются дополнительные затраты на организацию производства, новые складские емкости). В подоб­ных случаях необходимо задать некоторое априорное значение (на­пример, середину допустимого диапазона), рассчитать и и по приведенным выше формулам найти q1.

Если h(q0)=h(q1) и g(q0) = g(q1), полученное значение q является окончательным. В противном случае вычисления повторяются при h(q1), g(q1)и т.д. Последовательные приближения, как правило, схо­дятся к искомому решению достаточно быстро.

Практический интерес вызывает задача определения продажной цены изделия S с учетом зависимости от нее интенсивности спроса. И будем считать, что спрос обеспечивается полностью, а себестоимость единицы продукции составляет и. Используя (6.1.1), можно для до­хода в единицу времени записать выражение

.

Максимальный доход достигается при , или при

.

Решать подобные уравнения удобно графически.



infonko.ru/kompetenciya-gosudarstva-subektov-rf-i-organov-mestnogo-samoupravleniya-v-sfere-ohrani-zdorovya.html infonko.ru/kompetenciya-gosudarstvennih-organov-respubliki-belarus-v-oblasti-administrativno-territorialnogo-ustrojstva.html infonko.ru/kompetenciya-gosudarstvennih-organov-v-oblasti-administrativno-territorialnogo-ustrojstva.html infonko.ru/kompetenciya-i-organizaciya-raboti-soveta-respubliki.html infonko.ru/kompetenciya-mestnogo-samoupravleniya-ponyatie-obshaya-harakteristika.html infonko.ru/kompetenciya-naseleniya-municipalnogo-obrazovaniya-sootnoshenie-kompetencii-naseleniya-i-organov-municipalnogo-obrazovaniya.html infonko.ru/kompetenciya-obyazannosti-i-prava-eksperta.html infonko.ru/kompetenciya-organov-mestnogo-samoupravleniya.html infonko.ru/kompetenciya-organov-osushestvlyayushih-kontrol-i-nadzor-ih-pravovaya-osnova.html infonko.ru/kompetenciya-pkd-1-s-ukazaniem-etapa-formirovaniya-v-processe-osvoeniya-obrazovatelnoj-programmi.html infonko.ru/kompetenciya-pkd-2-s-ukazaniem-etapa-formirovaniya-v-processe-osvoeniya-obrazovatelnoj-programmi.html infonko.ru/kompetenciya-prezidenta-rossijskoj-federacii.html infonko.ru/kompetenciya-verhovnogo-suda-rossijskoj-federacii.html infonko.ru/kompetencya-derzhavnogo-organu-yak-viraz-jogo-specalno-pravosubktnost.html infonko.ru/kompetencya-verhovno-radi-ukrani.html infonko.ru/kompetentnostnaya-model-vipusknika.html infonko.ru/kompetentnostnij-podhod-k-audita-personala.html infonko.ru/kompetentnostnij-podhod-v-obrazovanii.html infonko.ru/kompetentnostnij-podhod-v-socialnoj-rabote.html infonko.ru/kompetentnost-osvedomlennost-i-podgotovka.html