INFONKO.RU

Интерполяционный многочлен Ньютона

Предположим дополнительно, что рассматриваемые значения аргумента являются равноотстоящими, т. е. образуют арифметическую прогрессию.

В этом случае шаг таблицы h = хi+1 - xi (i = 0, 1, 2, ..., n) = const является величиной постоянной. Для таких таблиц построение интерполяционных формул (как впрочем, и вычисление по этим формулам) заметно упрощается.

Прежде чем перейти к рассмотрению этого вопроса, познакомимся с понятием конечных разностей.

Пусть функция задана таблицей с постоянным шагом. Разности между значениями функции в соседних узлах интерполяции называют конечными разностями первого порядка:

Δ yi = yi+1 - yi (i = 0, 1, 2, ...).

Из конечных разностей первого порядка образуются конечные разности второго порядка:

Δ 2yi = Δ yi+1 - Δ yi (i = 0, 1, 2, ...)

Для записи конечных разностей используются горизонтальные и диагональные таблицы.

Горизонтальная таблица

x y Δy Δ2y Δ3y
x0 y0 Δy0 Δ2 y0 Δ3y0
x1 y1 Δy1 Δ2 y1
x2 y2 Δy2
x3 y3

Диагональная таблица

x y Δy Δ2y Δ3y
x0 y0 Δy0 Δ2 y0 Δ3y0
x1 y1
Δy1
x2 y2 Δ2 y1
Δy2
x3 y3

Формула Ньютона «вперед»:

где n – порядок полинома, h – шаг (расстояние между узлами).

Первый порядок:

x1=x0-h Δy= y1 – y0
x2=x0-2h Δy1= y2 – y1
xn=x0-n×h Δyn-1= yn – yn-1

Второй порядок:

Δ2y= Δy1 – Δy0
Δ2y1= Δy2 – Δy1
Δ2yn-2= Δyn-1 – Δyn-2

Формула Ньютона «назад»:

Программа для интерполирования «вперед»: Программа для интерполирования «назад»:
program newton; const n=3; var d:array[0..n,0..n] of real; x,y:array[0..n] of real; p:array[1..n] of real; f1,f2:text; h,x1,s1:real;i,j:integer; begin assign(f1,'n1.pas');assign(f2,'nnn.pas'); reset(f1);rewrite(f2);x1:=1.5;h:=1; for i:=0 to n do read(f1,x[i],y[i]); s1:=y[0]; for i:=0 to n do d[i,0]:=y[i]; for j:=1 to n do for i:=0 to n-j do d[i,j]:=d[i+1,j-1]-d[i,j-1]; for i:=1 to n do begin p[i]:=1;for j:=1 to i do p[i]:=p[i]*(x1-x[j-1])/(h*j); s1:=s1+d[0,i]*p[i]; end; write(f2,s1:7:4);close(f2);end. program newton; const n=3; var d:array[0..n,0..n] of real; x,y:array[0..n] of real; p:array[1..n] of real; f1,f2:text; h,x1,s1:real;i,j:integer; begin assign(f1,'n1.pas');assign(f2,'nn3.pas'); reset(f1);rewrite(f2);x1:=1.5;h:=1; for i:=0 to n do read(f1,x[i],y[i]);s1:=y[n]; for i:=0 to n do d[i,0]:=y[i]; for j:=1 to n do for i:=0 to n-j do d[i,j]:=d[i+1,j-1]-d[i,j-1]; for i:=1 to n do begin p[i]:=1;for j:=1 to i do p[i]:=p[i]*(x1-x[n-j+1])/(h*j); s1:=s1+d[n-i,i]*p[i]; end; write(f2,s1:5:2);close(f2);end.

4.2. Итерационные методы решения нелинейных уравнений

Итерационные методы используются для решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений.

Уравнения в общем случае можно представить следующим образом:

f(x)=0.

Нелинейные уравнения можно разделить на два класса - алгебраические и трансцендентные.

Алгебраическими считаются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные).

Алгебраическое уравнение в общем виде можно представить многочленом n-й степени с действительными коэффициентами:

f(x)=a0+a1x+...+an-1xn-1+an xn=0 .



Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.), называются трансцендентными, например: x3+x2+2ex+5=0; 2x-sin3x=0.

Задача решения уравнения заключается в нахождении таких значений х, которые обращают его в тождество.

Метод деления отрезка пополам

Рассмотрим некоторые итерационные методы решения нелинейных уравнений, которые часто используются при расчете химико-технологических систем.

Пусть дано уравнение f(x)=0. Допустим, нам удалось найти такой отрезок [a,b], на котором расположено значение корня x, т.е. а0 и f(x1)>0. Отрезок [x1,b],на концах которого функция имеет противоположные знаки f(x1)0, вновь делим пополам и получаем новое приближение корня x2=(x1+b)/2. и т.д. Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока значение функции f(a) после n-й итерации не станет меньше некоторого заданного малого числа (погрешности).

Метод простых итераций

Метод итераций представляет собой циклический процесс, очередное приближение которого есть корень с определенной точностью.

Исходя их найденного на предыдущем шаге значения хn-1, вычисляем у = f(xn-1). Если |y-xn-1|> eps , то полагают хn=y и выполняют очередную итерацию. Если же |y-xn|<=eps, то приближенные вычисления заканчивают и за решение принимают xn=y.

Рассмотрим пример решения уравнения ех–10х = 0; eps = 0.001 на отрезке [0;6].

Корни х1 и х2 легко отделяются графически. Они являются абсциссами точки пересечения графиков ex с прямой y=10·x. Для определения корня заменим исходное уравнение эквивалентным x = 0.1 ex. На отрезке [0;1] f'(0)=0.1; f'(1)= 0.271; т.к. функция ex монотонная, то 0

Для определения второго корня представляем исходное уравнение в виде х=ln(10x). В этом случае эквивалентной функций будет являться f(x)=ln(10x), а f'(x) = 1/x ;|1/x|<=0.5 , то есть q =0.5. x0=2, x1= 2.995, x2=3.399, x3= 3.526, x4= 3.562, x5=3.576, то есть x1= 3.576 c точностью 0.001.



infonko.ru/tema-5-bezopasnost-pri-terroristicheskih-aktah.html infonko.ru/tema-5-bolezni-serdechno-sosudistoj-sistemi.html infonko.ru/tema-5-buhgalterskij-uchet-obyazatelstv-i-raschetov.html infonko.ru/tema-5-cenoobrazovanie-v-marketinge.html infonko.ru/tema-5-civlne-pravo-ukrani.html infonko.ru/tema-5-denezhnij-rinok-denezhno-kreditnaya-sistema.html infonko.ru/tema-5-denezhno-kreditnaya-sistema-gosudarstva-denezhno-kreditnaya-politika.html infonko.ru/tema-5-dengi-denezhnoe-obrashenie-i-denezhnaya-politika.html infonko.ru/tema-5-differencialnaya-diagnostika.html infonko.ru/tema-5-dogovori-v-hozyajstvennom-prave.html infonko.ru/tema-5-dokumentacya-na-rozrobku-nformacjnih-sistem.html infonko.ru/tema-5-dokumentirovanie-v-bu.html infonko.ru/tema-5-doneckij-region-v-novoe-vremya-xviii-v.html infonko.ru/tema-5-ekonomicheskie-indeksi.html infonko.ru/tema-5-ekonomicheskoe-povedenie-osnovnie-ekonomicheskie-i-psihologicheskie-zakoni-v-ih-vzaimosvyazi-.html infonko.ru/tema5-ekozashitnaya-tehnika-i-tehnologii-vodnie-resursi.html infonko.ru/tema-5-elastichnost-sprosa-i-predlozheniya-na-rinke-tovarov-potrebitelskoe-povedenie.html infonko.ru/tema-5-emocionalno-volevie-processi-lichnosti.html infonko.ru/tema-5-fenomen-russkoj-kulturi.html infonko.ru/tema-5-filosofskie-teorii-razvitiya.html