Действительные числа. Расширенная числовая прямая. Модуль вещественного числа

Множество действительных чисел обладает еще свойством непрерывности.

V. Непрерывность. Для любых непустых числовых множеств X и Y таких, что для каждой пары чисел х X и у Y выполняется неравенство x≤y, существует число а, удовлетворяющее условию x≤a≤y, х X и у Y (см рис.7.1.)

Рис. 7.1.

Перечисленные свойства полностью определяют множество действительных чисел в том смысле, что из этих свойств следуют и все остальные его свойства. Поэтому можно дать аксиоматическое определение множества действительных чисел следующим образом.

Определение 7.1.

Множество элементов, обладающих свойствами I-V, содержащее более одного элемента, называется множеством действительных чисел, а каждый его элемент — действительным числом.

Это определение однозначно задает множество действительных чисел с точностью до конкретной природы его элементов. Оговорка о том, что в множестве содержится более одного элемента, необходима потому, что множество, состоящее из одного только нуля, очевидным образом удовлетворяет условиям I-V.

Геометрически множество действительных чисел изображается направленной (ориентированной) прямой, а отдельные числа — точками этой прямой (см.рис. 7.1.(2))

Рис. 7.1. (2)

Поэтому совокупность действительных чисел часто называют числовой прямой или числовой осью, а отдельные числа — ее точками. В связи с этим иногда вместо а а) говорят, что точка а лежит левее точки b (точка b лежит правее точки а).

Часто бывает удобно дополнить множество действительных чисел элементами, обозначаемыми через +∞ и — ∞ и называемыми соответственно плюс бесконечностью и минус бесконечностью, считая при этом по определению, что для любого числа х R. выполняется неравенство -∞< х < +∞.

Множество действительных чисел R, дополненное элементами +∞ и —∞, называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается

Иногда бывает удобно дополнить множество действительных чисел R одним элементом ∞ (бесконечностью без знака), в этом случае бесконечность ∞ уже не связана соотношением порядка с действительными числами. Бесконечности +∞, ∞и ∞ называются также бесконечно удаленными точками числовой прямой, в отличие от ее остальных точек, которые называются конечными точками числовой прямой.

Сформулируем определения некоторых важных типов подмножеств расширенной числовой прямой R. Пусть a , b , а ≤b. Множество

[а, b] = {х: х , а ≤x≤b}

называется отрезком, множество

(a,b) = {х: х , а < х < b}

— интервалом, множества

[а, b) = {х: х , а ≤ х < b},

(а,b] = {х: х , а < х ≤b}

— полуинтервалами, а все они — промежутками расширенной числовой оси. Точки а и b называются концами этих промежутков, а точки х такие, что а < х < b, — их внутренними точками. Если а и b — числа, а ≤b, то число b — а называется длиной соответствующего промежутка, а сам промежуток называется конечным.

Определение 7.1(2).

U(a, ε) = (a - ε, a + ε ) (см рис.7.1(3)

Рис. 7.1(3).

Модуль вещественного числа

Определение 7.2.

Модулем действительного числа х называется такое неотрицательное число, обозначающееся |x|, такое, что:

Например, |6|=6, 6≥0, |-7| = -(-7)=+7, -7<0

Если расположить действительные числа на числовой оси, то модуль |x| любого числа х представляет собой расстояние от начала отсчета 0 до соответствующей точки А с абсциссой х: |x|=OA (см.рис. 4.2(1))

Рис.7.2(1).

Наконец, модуль вещественного числа х можно определить следующим образом:

|x| = max {x, -x}.

где max{a,b} – наибольшее из чисел a и b

Например, |2| = max {2, -2}=2,

|-9| = max {-9, -(-9))} = max{-9, 9} = 9.

Если модуль числа х удовлетворяет неравенству

(см. рис.7.2(2))

Рис.4.2.(2)