INFONKO.RU

Алгоритм перехода к комплексной схеме

1. Источники е(t) = ЕmSin(ωt+ψ) или i0(t) = ΙmSin(ωt+ψ) представляем их комплексными значениями:

jψ jψ

е(t) , i0(t)

jψ jψ .

В схемах источники обозначаются также, как и во временной области.

2. Пассивные элементы R, C, L представляем их комплексными сопротивлениями:

R → ZR = R;

L → ZL = jωL;

C → ZC = –j .

Все комплексные сопротивления обозначаются (рис. 2.31):


.

Рис. 2.31

Токи всех ветвей нужно обозначить комплексными действующими значениями , если они комплексные действующие, или комплексными амплитудными значениями если они комплексные амплитудные.

Перейти к комплексной схеме замещения означает изобразить ее и рассчитать её параметры.

Пример 17. Перейти к комплексной схеме замещения, если схема во временной
области имеет вид (рис. 2.32):


Рис. 2.32

Изображаем комплексную схему (рис. 2.33):


Рис. 2.33

20( )-1 В – комплексное действующее значение э.д.с.

ZC = –j(ωC)-1 = –j(100·100·10-6)−1 = –j100 Ом.

Частота ω = 100 рад/с задается сигналом источника.

ZL = jωL = j100 Ом.

ZR = 100 Ом.

Законы Кирхгофа в комплексной форме

Мгновенные значения токов и напряжений различных ветвей схемы связа-

ны законами Кирхгофа. Учитывая, что суммированию гармонических функций времени соответствует суммирование их комплексных изображений, перейдем к законам Кирхгофа в комплексной форме.

Ι закон Кирхгофа

Алгебраическая сумма комплексных амплитудных или комплексных действующих значений токов ветвей, подключенных к любому узлу, равна нулю:

или .

Правило знаков

Ток берется со знаком плюс, если он входит в узел, и со знаком минус, ес-

ли выходит из узла.

Например, для рассматриваемого в Примере 17 случая :

– – = 0.

ΙΙ закон Кирхгофа

Алгебраическая сумма комплексных действующих или комплексных амплитудных значений напряжений в замкнутом контуре равна алгебраической сумме комплексных действующих или комплексных амплитудных значений э.д.с., входящих в данный замкнутый контур.

или ,

где Nu, Ne – число пассивных элементов и э.д.с. соответственно.

Правило знаков

Напряжение или э.д.с. берутся со знаком плюс, если их направление совпадает с направлением обхода контура, и со знаком минус, если не совпадает.

Например, для рассматриваемого в Примере 17 случая:

или .

Энергетические процессы в цепях с источниками

Гармонического сигнала

В схемах с источниками гармонического сигнала различают мгновенную, активную (среднюю), реактивную, полную и полную комплексную мощности.

Мгновеннаямощность р(t)– это скорость поступления в схему электрической энергии:

.

Измеряется p(t) в ваттах.

Активная (или средняя) мощность Р – это среднее значение мгновенной мощности за период времени Т:

.

Измеряется мощность Р в ваттах. Она физически представляет собой среднюю энергию, выделяющуюся в виде тепла на участке схемы в единицу времени.



Для любого двухполюсника, к полюсам которого приложено гармоничес-

кое напряжение и по которому протекает гармонический ток, активная мощность Р может быть определена из соотношения:

,

где U – действующее значение напряжения, приложенного к двухполюснику;

Ι – действующее значение тока, протекающего в двухполюснике;

φ – угол сдвига фаз между током и напряжением ;

Cosφ – коэффициент мощности.

Чем больше Cosφ, тем больше активной мощности передается источником энергии приемнику (двухполюснику) при заданных токе и напряжении.

Реактивнаямощность Q – это мера потребления (или выработки) реактивного тока. Измеряется мощность Q в вольт–амперах реактивных (ВАР). Для любого двухполюсника справедливо:

.

Полная мощность S – это величина, равная произведению действующих значений напряжения, приложенного к двухполюснику, и тока, протекающего в двухполюснике. Измеряется мощность S в вольт–амперах (ВА). Для любого двухполюсника справедливо:

.

Рассмотрим расчет мощности в отдельных элементах схемы.

Активное сопротивление

i(t) = Im·Sin (ωt+ψi),

u(t) = Um·Sin (ωt+ψu),

рR(t) = Im·Sin (ωt+ψ) · Um·Sin (ωt+ψ) = Im·Um·Sin2 (ωt+ψ) = U·I – U·I·Cos[2(ωt+ψ)].

В данном случае ψi = ψu = ψ, на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе, поэтому имеют один и тот же знак, следовательно их произведение всегда положительно. Нетрудно видеть, что мгновенная мощность

рR(t) имеет постоянную составляющую и составляющую с удвоенной круговой частотой, при этом она всегда положительна.

Активная мощность на активном сопротивлении определится:

РR = Ι·U = Ι·Ι·R = Ι2 · R, так как φ = 0.

Реактивная мощность .

Полная мощность SR = PR.

Индуктивность L

рL(t) = uL(t)·iL(t)· = Um·Sin (ωt+ψi+ )· Im·Sin (ωt+ψi) = UL·IL·sin [2(ωt+ψi)].

Мгновенная мощность рL(t), поступающая в индуктивность, изменяется по гармоническому закону с круговой частотой 2ω и амплитудой UL·IL.

Активная мощность индуктивности определится:

РL = UL·IL Сos = 0, так как φ = .

Реактивная мощность .

Полная мощность .

Емкость С

рС(t) = UС·IС·sin [2(ωt+ψu)].

Мгновенная мощность рС(t), поступающая в емкость, изменяется с круговой частотой 2ω и амплитудой UС·IС.

Активная мощность емкости определится:

РС = UС·IС Сos = 0 , так как φ = .

Реактивная мощность .

Полная мощность SC = QC.

Таким образом, реактивная мощность положительна при индуктивной нагрузке и отрицательна при емкостной.

Очевидно, что мощность имеет комплексное представление.

Комплексная величина S, модуль которой равен S, а аргумент φ – углу сдвига фаз между током и напряжением, называется полной комплексной мощностью:

S = S·еjφ = S·Cosφ + jSinφ = Р + jQ ,

то есть Р = Rе[S], Q = Im[S].

На комплексной плоскости можно представить треугольник мощностей (рис. 2.34):

Рис. 2.34

Справедливы равенства:

, S2 = Q2 + P2 ,

где - ток, комплексно сопряженный с током .

Баланс мощностей вытекает из закона сохранения энергии, так как сум-

ма мгновенных мощностей всех элементов схемы в любой момент времени рав-

на нулю.

В комплексной форме, учитывая, что в схеме есть источники и приемники энергии, уравнение баланса мощностей можно записать в виде:

,

где – полная комплексная мощность k-го источника энергии;
– полная комплексная мощность k-го приемника энергии;
N – число источников энергии;

М – число приемников энергии.

Таким образом, алгебраическая сумма полных комплексных мощностей, отдаваемых источниками энергии, равна алгебраической сумме полных комплексных мощностей всех пассивных элементов.

Правило знаков для мощностей источников иллюстрируется схемой

(рис. 2.35):


Рис. 2.35

Из уравнения баланса мощностей следует уравнение баланса активной и реактивной мощностей:

следовательно

Для расчета необходимо вычислить отдельно активную и реактивную мощности потребления:

где МR – число активных сопротивлений;

Rk – k–ое активное сопротивление;

– действующее значение тока через k–ое активное сопротивление;

– число емкостных пассивных элементов;

– реактивное сопротивление k–го емкостного пассивного элемента;

– действующее значение тока через k–ый емкостной пассивный элемент;

– число индуктивных пассивных элементов;

– реактивное сопротивление k–го индуктивного пассивного элемента;

– действующее значение тока через k–ый индуктивный пассивный

элемент.

Затем необходимо сравнить результаты расчета с активной РИСТ и реактивной QИСТ мощностью источников энергии и вычислить погрешности δР и δQ

баланса мощностей.

Алгоритм расчета баланса мощностей:

рассчитать комплексные действующие токи ветвей схемы. Определить

*
полную комплексную мощность источника:

если источник э.д.с.,
Ik,
*
, если источник тока ( − напряжение на полюсах источника).
Ik

Представить в алгебраической форме .

определить активную мощность РПОТР потребления.

Определить реактивную мощность QПОТР потребления.

Определить погрешности баланса:

Если δР > 1% и (или) δQ > 1%, то необходимо искать ошибку, начиная с расчетов токов. Чаще всего она заключается в грубом округлении рассчитанных значений сопротивлений и токов. Рекомендуется при округлении оставлять не менее четырех значащих чисел.



infonko.ru/sila-voznikayushaya-pri-ekstrakcii-gilzi-i-uvodyashaya-stvol-avtomata-vpravo-vverh-zadnyuyu-chast-priklada-vlevo-vniz.html infonko.ru/sili-davleniya-na-ploskie-proizvolno-orientirovannie-poverhnosti-analiticheskij-i-grafoanaliticheskij-sposobi-rascheta.html infonko.ru/sili-dejstvuyushie-na-kolesnuyu-paru.html infonko.ru/sili-dejstvuyushie-na-mehanizm.html infonko.ru/sili-dejstvuyushie-na-shatunnie-shejki-kolenchatogo-vala-ot-odnogo-shatuna.html infonko.ru/sili-dejstvuyushie-ot-kolesa-avtomobilya-na-dorozhnoe-pokritie.html infonko.ru/sili-dejstvuyushie-v-konicheskoj-pryamozuboj-peredache.html infonko.ru/sili-dejstvuyushie-v-zaceplenii-peredach.html infonko.ru/sili-dejstvuyushie-v-zhidkosti.html infonko.ru/sili-duha-rozhdennogo-svishe-cheloveka.html infonko.ru/sili-i-moshnost-pri-skleivanii.html infonko.ru/sili-i-potencialnaya-energiya-mezhmolekulyarnogo-vzaimodejstviya.html infonko.ru/sili-i-sredstva-otraslevogo-zdravoohraneniya-rzhd-prednaznachennie-dlya-likvidacii-mediko-sanitarnih-posledstvij-chs.html infonko.ru/silikatnie-gidrofobizirovannie-sostavi.html infonko.ru/silikonovij-byustgalter-nevidimka.html infonko.ru/sili-mezhmolekulyarnogo-vzaimodejstviya.html infonko.ru/sili-osirisa-v-kazhdom-muzhchine.html infonko.ru/sili-prizvannie-sdelat-vas-glupim-bolnim-i-bednim.html infonko.ru/sili-v-kinematicheskih-parah-ploskih-mehanizmov-bez-ucheta-treniya.html infonko.ru/sili-zasobi-bezpeki-bankvsko-dyalnost.html